Number System (Definition, Types, Conversion & Examples)

आज प्रत्येक परीक्षा में Number System (Base 8 Number System) के प्रश्न अवश्य पूछे जाते है, यदि आपके द्वारा Number System (Definition, Types, Conversion & Examples) को अच्छे तरीके से जान लेते है, तो आपके प्रत्येक परीक्षा में कम से कम 5 नम्बर पक्के हो जायेगे, आज के पेज पर हम Number System in Maths की सम्पूर्ण जानकारी लेकर आये है, यदि आप द्वारा गहन अध्ययन किया जाता है, तो आपका Number System का कोई भी प्रश्न गलत नही होगा। चलिए शुरू करते है-

संख्या पद्धति

जैसा कि हम जानते है कि किसी संख्या को लिखने लिए दस अंक का प्रयोग किया जाता है।

ये अंक है 0,1,2,3,4,5,6,7,8, तथा 9.
किसी संख्या को लिखने के लिए हम दायीं ओर से बायीं ओर क्रमशः इकाई, दहाई, सैंकड़ा, हजार, दस-हजार लाख, दस-लाख, करोड, दस-करोड आदि स्थान लेते हैं।

उदाहरण 1. निम्नलिखित संखाओं को शब्दों में लिखियेः
(1) 61487029 (2) 723892514 (3) 5894160723

Number System

अतः दी गई संखायें हैं क्रमशः

(i)   छः करोड़ चाौदह लाख सत्तासी हजार उनतीस
(ii)  बहत्तर करोड़ अठतीस लाख बनावे हजार पाँच सौ चाौदह
(iii) पाँच अरब नवासी करोड़ इक्तालीस लाख साठ हजार सात सौ तेईस

उदाहरण 2: निम्नलिखित संखाओं को अंको में लिखिये:
(i)  सात करोड़ चार लाख पाँच हजार एक सौ सोलह
(ii) चैदह करोड़ आठ लाख चार हजार एक सौ सोलह
(iii) आठ लाख अस्सी
(iv) ग्यारह करोड़ तेईस लाख एक हजार नौ सौ तेईस

Number System & Simplification Study Material

Number System

दी गई संख्या में अंकों का जातीय मान (Local Value):
किसी दी गई संख्या में किसी अंक का जातीय मान उसका अपना मान है, चाहे वह किसी भी स्थान पर क्यों न हो।
जैसे: संख्या 63578 में 3 का जातीय मान 3 है, 6 का जातीय मान 6 है आदि

दी गई संख्या में अंकों का स्थानीय मान (Place Value) :
किसी दी गई संख्या में:
इकाई अंक का स्थानीय मान = (इकाई अंक) x 1;

दहाई अंक का स्थानीय मान = (दहाई अंक ) 10
सैकड़े के अंक का स्थानीय मान = (सैंकड़े का अंक) 100 आदि.
उदाहरण 3. संख्या 32567809 में निम्न अंकों के स्थानीय मान लिखिए:

(i) 3    (ii) 5    (iii)  7    (iv) 8   (v) 0

हल: इन्हें स्थानीय तालिका में लिखने पर:

Number System Learn

(i)    3 का स्थानीय मान = (3 x 10000000) = 30000000

(ii)  5 का स्थानीय मान = (5 x 100000) = 500000

(iii)  7 का स्थानीय मान   = (7 x 1000) = 7000

(iv)  8 का स्थानीय मान  = (8 x 100) = 800

(v) 0 का स्थानीय मान  = (0 x 10) = 0.

उदाहरण 4: संख्या 536487 में अंको के जातीय मान लिखिये:

(i) 5      (ii) 4      (iii) 8

हल: (i) 5 का जातीय मान = 5

(ii) 4 का जातीय मान = 4

(iii) 8 का जातीय मान = 8

विभक्ति के नियम
I.2 से विभक्त होने के नियम :यदि किसी संख्या का इकाई अंक 0, 2 , 4, 6 , 8 में से कोई हो, तो वह संख्या 2 से पूर्णतया विभक्त होगी।
जैसे- निम्नलिखित में से प्रत्येक संख्या 2 से पूर्णतया विभक्त होगी:

(i)  97532   (ii) 180634   (iii) 7809516  (iv) 3579108  (v) 1579340

II.3 से विभक्त होने के नियम :

यदि दी गई संख्या के सभी अंकों का योग 3 से पूर्णतया विभक्त हो जाये तो वह संख्या 3 से पूर्णतया विभक्त होगी,
जैसे: संख्या 75684 लें:
इसके अंको का योग = ( 7 + 5 + 6 + 8 + 4 ) = 30, जो 3 से पूर्णतया विभक्त होता है।
अतः दी गई संख्या 75684 पूर्णतया 3 से विभक्त होगी।
संख्या 963421 लें।
इसके अंकों का योग = ( 9 + 6 + 3 + 4 + 2 + 1 ) = 25, जो 3 से पूर्णतया विभक्त नहीं होती।
अतः दी गई संख्या 963421 पूर्णतया 3 से विभक्त नहीं होगी।

Number Systems, Sample Questions

III. 9 से विभक्त होने के नियम :

यदि किसी दी गई संख्या के सभी अंको का योग 9 से पूर्णतया विभक्त हो, तो दी गई संख्या 9 से पूर्णतया विभक्त होगी।
जैसे: संख्या 754623 लें।
इसके अंको का योग = ( 7 + 5 + 4 + 6 + 2 + 3 ) = 27, जो 9 से पूर्णतया विभक्त होता है।
अतः दी गई संख्या 754623 पूर्णतया 9 से विभक्त होगी।
संख्या 375693 लें।
इसके अंको का योग = ( 3 + 7 + 5 + 6 + 9 + 3 ) = 33, जो 9 से पूर्णतया विभक्त होता है।

अतः दी गई संख्या 375693 पूर्णतया 9 से विभक्त नहीं होगी।

IV. 5 से विभक्त होने के नियम :

यदि किसी दी गई संख्या का इकाई अंक 5 अथवा 0 हो, तो वह संख्या 5 से पूर्णतया विभक्त होगी।
जैसे: 86735 तथा 68730 में से प्रत्येक 5 से विभक्त होगी।

V. 4 से विभक्त होने के नियम :

कोई दी गई संख्या 4 से विभक्त तभी होगी जब उसके दहाई और इकाई अंकों से बनी संख्या 4 से पूर्णतया विभक्त हो।
जैसे: (i) संख्या 978132 लीजिए।
इसके और इकाई अंकों से बनी संख्या 32 है, जो 4 से पूर्णतया विभक्त होगी है।
अतः दी गई संख्या 978132 पूर्णतया 4 से विभक्त होगी।

(ii) संख्या 844254 लीजिए।
इसके दहाई और इकाई अंकों से बनी संख्या 54 जै, जो 4 से पूर्णतया विभक्त नहीं होती है।
संख्या 844254 लीजिए।
इसके दहाई और इकाई अंकों से बनी संख्या 54 है, जो 4 से पूर्णतया विभक्त नहीं होती।
अतः दी गई संख्या 844254 पूर्णतया 4 से विभक्त नहीं होगी।

Introduction to number systems

VI. 8 से विभक्त होने का नियमः
कोई दी गई संख्या 8 से विभक्त तभी होगी जब उसके सैंकडे़, दहाई तथा इकाई अंकों से बनी संख्या 8 से पूर्णतया विभक्त हो।
जैसे- (i) संख्या 6795416 लीजिए
इसके सैंकड़े दहाई और इकाई अंकों से बनी संख्यसा 416 है जो 8 से पूर्णतया विभक्त होती है।
अतः दी गई संख्या 8 से पूर्णतया विभक्त होगी।
V. 11 से विभक्त होने का नियमः
कोई दी गई संख्या 11 से तभी विभक्त होगी जबकि इकाई से बायीं ओर चलने पर सम-स्थानों के अंकों के योग तथा विषम-स्थानों के अंकों के योग का अन्तर 0 हो अथवा 11 से पूर्णतया विभक्त हो।
जैसे- (i) संख्या 80164591 में
( सम स्थानों के अंकों का योग ) – (विषम स्थानों के अंको का योग)
= ( 9 + 4 + 1 +8 ) – (1 + 5 + 6 + 0) = (22- 12) = 10 ,जो 11 से विभक्त नहीं होगा।
अतः दी गई संख्या 80164591 पूर्णतया 11 से विभक्त नहीं होगी।
(ii) संख्या 23697069 में
(विषम स्थानों के अंकों का योग) – (सम स्थानों के अंकों का योग)

= (9 + 0 + 9 + 3) – (6 + 7 + 6 + 2) = (21 – 21 ) = 0
अतः दी गई संख्या 23697069 पूर्णतया 11 से विभक्त होगी।
(iii) संख्या 938245 लीजिए।
इसके (सम स्थानों के अंकों का योग) – (विषम स्थानों के अंकों का योग)
= (4 + 8 + 9) – (5 + 2 +3 ) = (21 – 10) = 11, जो 11 से पूर्णतया विभक्त होता है।
अतः दी गई संख्या 938245 पूर्णतया 11 से विभक्त होगी।

Number System: Types,

VI. 7 से विभक्त होने का नियम:
यदि इकाई अंक को छोड़कर शेष बची संख्या में से इकाई अंक का दुगुना घटा देने के बाद बची संख्या 7 से विभक्त हो, तो दी गई संख्या 7 से विभक्त होगी।
(i) संख्या 882 लें
(88 -2 x2) = 84, जों 7 से पूर्णतया विभक्त होती है, अतः 882 भी 7 से पूर्णतया विभक्त होगी।
(ii) संख्या 663 लें ।
(66-2×3) = 60, जो 7 पूर्णतया विभक्त नहीं होती।
663 से 7 से पूर्णतया विभक्त नहीं होगी।

सहअभाज्य संख्यायें: यदि तथा दो ऐसी संख्यायें हैं जिनका महत्तम समापर्वतक 1 हो, तो ऐसी संख्यायें सहअभाज्य संख्यायें कहलाती है।
जैसे: (2, 3),  (3, 5 ), (6, 7 ), (9, 11), (21, 65 ) आदि
एक विशेष नियमः यदि कोई गई संख्या दो सहअभाज्य संख्याओं तथा में से प्रत्येक से पूर्णतया विभक्त हो, तो वह संख्या से भी पूर्णतया विभक्त होगी।
जैसे- 19752 लीजिए।
इसका इकाई अंक 2 है, अतः दी गई संख्या 2 से विभक्त होगी।
(1 + 9 + 1 + 5 + 2 ) = 24, जो 3 पूर्णतया विभक्त होती है, अतः दी गई संख्या 3 से भी विभक्त होगी। स्पष्ट है कि 2 तथा 3 सहभाज्य संख्यायें है।

अतः 19752 पूर्णतया 6 से विभक्त होगी।

उदाहरण 5: कोई संख्या यदि 4 तथा 6 दोनों से विभक्त होती है, तो क्या यह आवश्यक है कि यह संख्या 24 से विभक्त हो? इसकी विवचेना कीजिए।
उदाहरण देकर स्पष्ट कीजिए-
हलः नहीं, उदाहरण हेतु 36 लीजिए़
यह 4 तथा 6 दोनों से विभक्त होता है, परन्तु 24 से विभक्त नहीं होता़
ध्यान रहे 4 तथा 6 सह -अभाज्य संख्यायें नहीं है।

सम-संख्यायें (Even Numbers):

जो प्राकृत संख्यायें 2 से पूर्णतया विभक्त हो जाये, उन्हें सम-संख्यायें कहते है।
जैसे- (i) 32  (ii) 46  (iii) 54  (iv) 98  (v) 90 आदि सभी सम-संख्यायें है।

विषम संख्याये (Odd Numbers): जो प्राकृत संख्यायें 2 से पूर्णतया विभक्त न हों उन्हें विषम संख्यायें कहते है।
जैसे: (i) 23  (ii) 35  (iii) 57  (iv) 81 आदि सभी विषम संख्यायें है।

अभाज्य संख्यायें (Odd Numbers): ऐसी प्राकृत संख्या जिसके दो तथा केवल दो गुणनखण्ड हो, अभाज्य संख्या कहलाती है।
जैसे:  100 से कम सभी अभाज्य संख्यायें नीचे दी गई है।

2, 3 , 5 , 5 , 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 इनकी संख्या 25 है।
जाँच (test) : माना कोई दी गई संख्या है तथा वह छोटी से छोटी प्राकृत संख्या है कि n² >a

अब दी गई संख्या को तथा इससे छोटी प्रत्येक अभाज्य संख्या से विभक्त करके देखे। यदि इनमें से किसी भी संख्या से पूर्णतया विभक्त नहीं होता तो एक अभाज्य संख्या होगी, अन्यथा नहीं-
उदाहरण्सा 6: जाँच करें कि 173 एक अभाज्य संख्या है अथवा नहीं
हलः हम जानते है कि (14)² > 173.

14 से छोटी सभी अभाज्य संख्यायें हैं 2, 3, 5, 7, 11, 13
स्पष्ट है कि 173 इनमें से किसी भी संख्या से पूर्णतया विभक्त नहीं होता। अतः 173 एक अभाज्य संख्या है।
उदाहरण 7: जाँच करें कि 341 एक अभाज्य संख्या है, अथवा नहीं 

हलः हम जानते है कि (19)² > 341.
19 से छोटी सभी अभाज्य संख्यायें है 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17
स्पष्ट है 341 इनमें से 11 से पूर्णतया विभक्त होता हैं।
अतः 341 एक अभाज्य संख्या नहीं है।

Number system examples with Solutions

उदाहरण 8: जाँच करें कि 437 एक अभाज्य संख्या है अथवा नहीं
हलः हम जानते है कि (21)² > 437.
21 से छोटी सभी अभाज्य संख्यायें है 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19
स्पष्ट है कि 437 इनमें से 19 से पूर्णतया विभक्त होता है।
अतः 437 एक अभाज्य संख्या नहीं है।
उदाहरण 9: जाँच करें कि 811 एक अभाज्य संख्या है अथवा नहीं
हल: हम जानते है कि (29)² > 811.
29 से छोटी सभी अभाज्य संख्यायें हैं 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23
भाग देने से ज्ञात होगा कि 811 इनमें से किसी से भी पूर्णतया विभक्त नहीं होता।
अतः 811 एक अभाज्य संख्या है।

संख्याओं में भाग संक्रिया (DIVISION ON NUMBERS)
माना किसी संख्या a को संख्या b से विभक्त करने पर भागफल q तथा शेषफल r है, तब

कुछ साधित उदाहरण
उदारण 10: 1043 को किसी संख्या से भाग देने पर भागफल 11 तथा शेषफल 20 प्राप्त होता है, भाजक ज्ञात कीजिए?
हलः यहाँ भाज्य = 1043 , भागफल = 11 तथा शेषफल = 20
भाजक = (भाज्य ) – (शेषफल)/ भागफल
उदारण 11़ 1000 में से छोटी से छोटी कौन-सी संख्या घटाई जाये कि शेष बची संख्या 19 से पूर्णतया विभक्त हो जाये?
हलः 1000 को 19 से भाग देने पर शेषफल = 12
अतः अभीष्ट संख्या = 12

Introduction to number systems 

उदाहरण 12 . किसी संख्या को 195 से भाग देने पर 47 शेष बचते हैं। इस संख्या को 15 से भाग देने पर शेष क्या बचेगा?
हलःमाना दी गई संख्या को 195 से भाग देने पर भागफल = q तथा शेषफल = 47

तब, दी गई संख्या = 195 x q + 47

= 15 x (13q) + 15 x3 + 2

= 15 x (13q + 13 ) + 2

अतः उस संख्या को 15 से भाग देने पर भगफल = 2

कुछ विशेष सूत्र (FORMULAE) 

(i) (a+ b)² = (a² + b² + 2ab)                        (ii) (a- b)² = (a² + b² – 2ab)

(iii) (a+ b)² + (a – b)² = 2(a² + b²)              (iv) (a+ b)²  – (a+ b)² = 4 ab

(v) (a² + b²) = (a + b ) (a – b)                      (vi) (a + b)³ = a³ + b³ +3ab (a + b )

(vii) (a – b)³ = a³ – b³ -3ab (a – b )               (viii) (a³ + b³) = (a + b) (a² -ab + b²)

(ix) (a³ – b³) = (a – b) (a² +ab + b²)

समान्तर श्रेढ़ी  (A.P.) :
श्रेढ़ी  a, a+d, a+2d, a+3d,………………….एक समान्तर श्रेढ़ी है, जिसमें प्रथम पद = a तथा सार्वअन्तर = d है।
Nवाँ पद T_n = a + (n-1) d
n पदों का योग, S_n = n/2 [2a+ (n-1)d]
N पदों का योग, S_n = n/2 (a + l), जहाँ l = अन्तिम पद

गुणोत्तर श्रेढ़ी (G.P.) :
श्रेढ़ी  a, ar, ar² ……………………. एक गुणोतर श्रेढ़ी है जिसमें प्रथम पद = a, सार्वअनुपात = r
n वाँ पद, T_n = ar^n-1 तथा n पदों का योग, S_n = a(rⁿ -1)    =  a (1 – rⁿ)
(r – 1)          (1 – r)

सभी प्रकार के साधित उदारण

Q.1- 6784 x 786 + 6784 x 214 = ?

Ans- 6784 x 786 + 6784 x 214

= 6784 x (786 + 214 )

= 6784 x 1000 = 6784000

Q.2- 8765 x 974 – 8765 x 874 = ?

Ans – 8765 x 974 – 8765 x 874

=  8765 x (974 – 874 )

= 8765 x 100 = 876500

Q.3- (i) 1509 x 1509 = ?                      (ii) 1994 x 1994 = ?

Ans – (i) 1509 x 1509 = (1509)²

= (1500+9)²

=(1500)² + 9² + 2 x1500 x 9      :- [ (a+ b)² = (a² + b² + 2ab) ]

= 2250000 + 81 + 27000

= 2277081

(ii) 1994 x 1994 = (1994)²

= (2000-6)²

=(2000)² + 6² + 2 x2000 x 6      :- [ (a- b)² = (a² + b² – 2ab) ]

== 4000000 + 36 – 24000

= 4000036 – 24000

= 3976036

Q.4- 883 x 883 – 117 x 117 = ?

Ans :  883 x 833 – 117 x 117 = (883)² – (117)²

== (883+117) (883-117)

= 1000 x 766

== 766000

Number System: Types, Conversion Rules & Examples

Q.5- (220 x 200 + 180 x 180) = ?

Ans :  (a² + b²) = 1/2 { (a + b)² + (a – b)² }

= 1/2 [{ (220 + 180)² + (220 – 180)² }

= 1/2 x { (400)² + (40)² } = 1/2 x (160000 + 1600)

= 1/2 x 161600

= 80800

Q.-  (476 x 198 x 359 x 242 ) में इकाई अंक क्या होगा?

Ans.- दी गई संख्याओं के इकाई अंकों का गुणनफल = (6 x 8 x 9 x 2 ) = 864
अतः अभीष्ट अंक  = 4

Q- (3527)⁶⁵⁴ में इकाई अंक क्या होगा?
Ans- अभीष्ट अंक (7)⁶⁵⁴ में इकाई अंक = [(7⁴)¹⁶³ x 7²]  में इकाई अंक = (1 x 49) में इकाई अंक = 9
= (3527)⁶⁵⁴ में इकाई अंक = 9

Q-  (7⁶⁵ x 6⁴¹ x 3⁵⁷) में इकाई अंक क्या होगा?

Ans- 7⁶⁵

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