math सभी प्रतियोगी परीक्षाओ के लिए बहुत ही जरूरी टाॅपिक है, इसके बिना आप किसी भी Exam में स्थान प्राप्त नही कर सकते है, तो आज के टाॅपिक में (VOLUME OF SOLIDS) के प्रशन लेकर आये है, जो किसी भी परीक्षा भी परीक्षा में अवष्य पूछे जाते है, तो चलिए शुरूआत करते है, आज केि ब्लाक की………………….
volume of solid sphere
सूत्र (1) घनाभ ( CUBOID) : इसके छः फलक होते है तथा प्रत्येक फलक आयताकार होता है। माना घनाभ की लम्बाई =l सेमी0, चाौड़ाई = b सेमी0 तथा ऊँचाई = h सेमी0 तब, (2) घन (CUBE) : इसके छः फलक होते है तथा प्रत्येक फलक वर्गाकार होता है। (3) बेलन ( CYLINDER) : माना बेलन के आधार की त्रिज्या = r सेमी0 formula of solid shapes(4) शंकु ( CONE) : माना शंकु के आधार की त्रिज्या = r सेमी0, ऊँचाई = h सेमी0 तथा तिर्यक ऊँचाई = l सेमी0 तब (5) गोला (SPHERE) : माना किसी गोले की त्रिज्या = r सेमी0 तब, (6) शंकु का छिन्नक ( FRUSTUM OF A CONE) – माना किसी के छिन्नक के आधार तथा शीर्ष की त्रिज्यायें क्रमशः R सेमी0 तथा r सेमी0 है। माना इसकी ऊँचाई = h सेमी 0 तथा तिर्यक ऊँचाई = l सेमी0 (i) शंकु के छिन्नक का आयतन = 𝝅h/ 3 ( R² + r² + Rr) घन सेमी0 |
solid shape formula
साधित उदाहरण
प्र01- एक घनाभ की लम्बाई, चाौड़ाई तथा ऊँचाई क्रमशः 20 सेमी0, 12 सेमी0 तथा 9 सेमी0 है, इसका आयतन, सम्पूर्ण पृष्ठ तथा विकर्ण ज्ञात कीजिए?
हलः घनाभ का आयतन = ( l x b x h)
= ( 20 x 12 x 9) सेमी03 = 2160 सेमी03
घनाभ का सम्पूर्ण पृष्ठ = 2 x [ ( l x b) + ( b x h) + ( l x h) ]
= 2 x [ ( 20 x 12) + ( 12 x 9) + ( 20 x 9) सेमी0²
= [ 2 x ( 240 + 108 + 180 )] सेमी0² = ( 2 x 528) सेमी0² = 1056 सेमी0²
घनाभ का विकर्ण = √ l2 + √b2 + √h2
= √(20) 2 + √( 12)2 + √(9)2 = √400 + √144 + √81 =√ 625 = 25सेमी0
प्र02- 8 मी0 लम्बी, 6 मी0 ऊँची तथा 22.5 सेमी0 चाौड़ी एक दीवार को बनाने के लिए कितनी ईटें चाहिए। जबकि प्रत्येक ईंट 25 सेमी0 लम्बी, 11.25 सेमी0 चाौड़ी तथा 6 सेमी0 ऊँची हो?
हलः दीवार का आयतन = ( 800 x 600 x 22.5 ) सेमी03
प्रत्येक ईंट का आयतन = ( 25 x 11.25 x 6) सेमी03
अभीष्ट ईंटों की संख्या = दीवार का आयतन/ प्रत्येक ईंट का आयतन
= ( 800 x 600 x 22.5/ 25 x 11.25 x 6) = 6400
volume of Solids – Explanation & Examples
प्र03- एक घनाभ की लम्बाई, चाौड़ाई तथा ऊँचाई का अनुपात 8: 5: 3 है तथा इसके सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल 63200 वर्ग सेमी0 है। इसका आयतन ज्ञात कीजिए?
हलः माना लम्बाई = 8 x सेमी0 , चाौड़ाई = 5 x सेमी0 तथा ऊँचाई = 3 x सेमी0
घनाभ के सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल = 2 x [ ( l x b) + ( b x h) + ( l x h) ] सेमी0²
= 2 x [ 8 x X 5 x) + ( 5 x X 3 x) + ( 8 x X 3 x) सेमी0² = ( 158 x ) सेमी0²
158 x = 63200
x = 63200/ 158 = 400
अतः लम्बाई = 3200 सेमी0 =32 मी0, चाौड़ाई = 2000 सेमी0 = 20 मी0, ऊँचाई =1200 सेमी0 = 12 मी0
घनाभ का आयतन = ( 32 x 20 x 12 ) घन मीटर = 7680 घन मीटर
प्र04- एक घन की प्रत्येक भुजा 8 सेमी0 लम्बी है। घन का आयतन, सम्पूर्ण पृष्ठ तथा विकर्ण ज्ञात कीजिए?
हलः घन का आयतन = a3 = ( 8 x 8 x 8) सेमी03 =512 सेमी03
घन का सम्पूर्ण पृष्ठ = 6a² = ( 6 x 8 x 8) सेमी0² = 384 सेमी0²
घन का विकर्ण = 3a = 8√3 सेमी0
प्र05- किसी घन का सम्पूर्ण पृष्ठ 150 वर्ग सेमी0 है। इस घन का आयतन ज्ञात कीजिए?
हलः माना घन की प्रत्येक भुजा = a सेमी0
तब, घन का सम्पूर्ण पृष्ठ = 6a² सेमी0²
6a² -= 150
a² = 25 = 52
a = 5 सेमी0
घन का आयतन = a3 = 53 = 125 सेमी03
Volume of Solid: Meaning, Formula & Examples
प्र06- एक घन के विकर्ण की लम्बाई 6 √3 सेमी0 है। इसका आयतन तथा सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए?
हलः माना घन की प्रत्येक भुजा =a सेमी0 तब, घन का विकर्ण = √3a सेमी0
√3 a = 6√3
a = 6
अतः घन का आयतन = a3 = ( 6 x 6 x 6) सेमी03 = 216 सेमी03
तथा घन का सम्पूर्ण पृष्ठ = 6 a² = ( 6 x 6 x 6) सेमी0² =216 सेमी0²
प्र07- एक लम्बवृत्तीय बेलन की लम्बाई 80 सेमी0 तथा आधार की त्रिज्या 3.5 सेमी0 है। इस बेलन का आयतन, वक्रपृष्ठ तथा सम्पूर्ण पृष्ठ ज्ञात कीजिए?
हलः यहाँ r = 7/2 सेमी0 तथा h = 80 सेमी0
बेलन का आयतन = 𝝅r²h = ( 22/7 x 7/2 x 7/2 x 80) सेमी03 = 3080 सेमी03
बक्रपृष्ठ बेलन का = 2𝝅rh = ( 2 x 22/7 x 7/2 x 80) सेमी0² = 1760 सेमी0²
बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठ = ( 2𝝅rh + 2𝝅r²) = 2𝝅r ( h +r)
= [ 2 x 22/7 x 7/2 x ( 80 + 7/2)] सेमी0²
= ( 11 x 167) सेमी0² = 1837 सेमी0²
प्र08- एक बेलनाकार टंकी की धारिता 1848 मीटर3 तथा इसका व्यास 14 मीटर है। टंकी की गहराई ज्ञात कीजिए?
हलः दिया हैः टंकी का अर्द्धव्यास r = 7 मी0 तथा टंकी की धारिता = 1848 मी3
माना टंकी की गहराई = h मी0, तब
𝝅r𝝅h = 1848
22/7 x 7 x 7 x h = 1848
h = 1848/ 154 = 12
टंकी की गहराई = 12
Calculating Volume
प्र09- लोहे के बने एक खोखले पाईप की लम्बाई 1 मी0 तथा इसकी अन्दरी चैड़ाई 3 सेमी0 है। यह 1 सेमी0 मोटी लोहे की चादर का बना है। यदि 1 घन सेमी0 लोहे का भार 21 ग्राम हो, तो इस पाईप का भार कितना है?
हलः पाईप की अन्दरी त्रिज्या = 1.5 सेमी0 , बाहरी त्रिज्या = 2.5 सेमी0
लोहे का आयतन = { 𝝅 x ( 2.5)² x 100 – 𝝅 x ( 1.5)2 x 100} घन सेमी0
= 𝝅 x 100 x (2.5)² – (1.5)² घन सेमी0
{ 100 x 22/7 x {(2.5)² – ( 1.5)² } घन सेमी0
= ( 22/7 x 100 x 4 x 1) घन सेमी0 = 8800/7 घन सेमी0
पाईप का भार = ( 8800/ 7 x 21/ 1000) किग्रा0 = 26.4 किग्रा0
प्र010- एक शंकु के आधार की त्रिज्या 21 सेमी0 तथा ऊँचाई 28 सेमी0 है। इसकी तिर्यक ऊँचाई , आयतन , वक्र-पृष्ठ का क्षेत्रफल पृष्ठ का क्षेत्रफल तथा सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए?
हलः दिया है r = 21 सेमी0 तथा h = 28 सेमी0
तिय्रक ऊँचाई , 1 = √r² + h² = √(21)² + ( 28)² =√ 1225 = 35 सेमी0
(i) शंकु का आयतन = 1/2 = 𝝅r²h = ( 1/3 x 22/7 x 21 x 21 x 28) घन सेमी0 = 12936 घन सेमी0
(ii) वक्र-पृष्ठ का क्षेत्रफल = = 𝝅rl = ( 22/7 x 21 x 35) वर्ग सेमी0 = 2310 वर्ग सेमी0
(iii) सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल = ( 𝝅rl +𝝅r²) = ( 2310 + 22/7 x 21 x 21)वर्ग सेमी0 = 3696 वर्ग सेमी0
Volume of a solid cube
प्र011- एक शंकक्वाकार तम्बू के आधार की त्रिज्या 7 मी0 तथा ऊँचाई 24 मी0 है। इसे बनाने में 1.25मी0 चाौड़ा कितना कपड़ा लगेगा?
हलः यहाँ r = 7 मी0 तथा h = 24 मी0
l =√ r² + √h² = √49 + √576 =√ 625 = 25
कपड़े का क्षेत्रफल = 𝝅rl = ( 22/7 x 7 x 25) वर्गमी0 = 550 वर्गमी0
कपड़े की लम्बाई = क्षेत्रफल/ चाौड़ाई = 550/ 1.25 मी0 = 440 मी0
प्र012- दो लम्बबृत्तीय शंकुओं की ऊँचाई का अनुपात 1: 2 है तथा इनके आधार की परिमिति का अनुपात 3: 4 है। इनके आयतनों का अनुपात ज्ञात कीजिए?
हलः माना शंकुओं की ऊँचाई क्रमशः h, 2h हैं तथा आधार की त्रिज्यायें क्रमशः r तथा R है तब, = 2𝝅r/ 2𝝅R =3/4
r/ R = 3/4
दिये गये शंकुओं के आयतनों का अनुपात = 1/3 𝝅r²h/ 1/3𝝅r²(2h) = r²/ 2R² = 1/2 (r/R)² = 1/2 X ( 3/4)² = 9/32
अतः अभीष्ट अनुपात = 9 : 32
प्र013- एक गोले की त्रिज्या 10.5 सेमी0 है। इसका आयतन तथा सम्पूर्ण पृष्ठ ज्ञात कीजिए?
हलः यहाँ r = 21/2 सेमी0
गोले का आयतन = 4/3 𝝅r² = ( 4/3 x 22/7 x 21/2 x 21/2 x 21/2) घन सेमी0 = 4851 घन सेमी0
गोले के सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल = 4𝝅r²
= ( 4 x 22/7 x 21/2 x 21/2) वर्ग सेमी0 = 1386 वर्ग सेमी0
Volume of Solids – Explanation & Examples
प्र014- एक गोले की त्रिज्या में 50 % वृद्धि करने पर इसके आयतन में कितने प्रतिशत वृद्धि होगी तथा इसके सम्पूर्ण पृष्ठ के क्षेत्रफल में कितने प्रतिशत वृद्धि होगी?
हलः माना गोले की प्रारम्भिक त्रिज्या = r
तब इसका सम्पूर्ण पृष्ठ = 4𝝅r²
नई त्रिज्या = r 150% = ( r x 150/ 100) = 3r/ 2
नया सम्पूर्ण पृष्ठ = 4𝝅 ( 3r/ 2)² = 9𝝅r²
सम्पूर्ण पृष्ठ में वृद्धि % = ( 5𝝅r² /4𝝅r² x 100) % = 125 %
प्र015- एक गोले की त्रिज्या में 20% वृद्धि होने पर इसके आयतन में कितने प्रतिशत वृद्धि होगी?
हल- माना गोले की प्रारम्भिक त्रिज्या = r
तब, इसका आयतन = 4/3 𝝅r3
नई त्रिज्या = ( r x 120/100) = 6r/ 5
नया आयतन = 4/3r ( 6r/5)3 = 216/125 ( 4/3 𝝅r3)
आयतन में वृद्धि = 4/3𝝅r3 ( 216/125 – 1) = 4/3 𝝅r² x 91/125
आयतन में वृद्धि % = { 4/3 𝝅r3/ 4/3𝝅r3 ( 91/125) x 100}% = 364/5 % = 72.8%
प्र016- धातु के बने 28 सेमी0 ऊँचे तथा 6 सेमी0 त्रिज्या वाले ठोस बेलन को पिघलाकर गोलियाँ बनाई गई है। जिनमें से प्रत्येक का व्यास 1.5 सेमी0 हैं इन गोलियाँ की संख्या कितनी है?
हलः- बेलन का आयतन =𝝅R²H = ( 𝝅 x 6 x 6 x 28) सेमी0
1 गोली का आयतन = 4/3 𝝅r3 = 4/3𝝅x (3/4)3 = 9𝝅/16 घन सेमी0
गोलियों की संख्या = बेलन का आयतन/ 1 गोली का आयतन = ( 36 x 28 x 𝝅 x 16/ 9𝝅 ) = 1792
Volume of Solids: Definition, Formulas, Examples
प्र017- जस्ते के बने एक गोले का व्यास 18 सेमी0 है। इस गोले से 4 सेमी0 व्यास की तार खीची गई है। इस तार की लम्बाई कितनी है?
हलः गोले का अर्द्धव्यास = 9 सेमी0
गोले का आयतन = 4/3 𝝅R3 = { 4/3𝝅 x (9)3 घन सेमी0
तार की त्रिज्या = 2/10 सेमी0 = 1/5 सेमी0
माना तार की लम्बाई = x सेमी0 , तब 𝝅 x 1/5 x 1/5 x X = 4/3𝝅 x 9 x 9 x 9
X = 24300 सेमी0 = 243 मी0
अतः तार की अभीष्ट लम्बाई = 243 मी0
प्र018- एक शंकु तथा एक गोले की बराबर त्रिज्या तथा बराबर आयतन है। गोले के व्यास तथा शंकु की ऊँचाई का अनुपात ज्ञात कीजिए?
हलः माना प्रत्येक की त्रिज्या = R तथा शंकु की ऊँचाई = h तब
4/3 𝝅R3 = 1/3 𝝅R²h
R/h = 1/4 2R/h = 2/4 = 1/2
अभीष्ट अनुपात = 1 : 2
प्र019- एक अर्द्ध गोले की त्रिज्या 10.5 सेमी0 है। इसका आयतन, वक्र- पृष्ठ तथा सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए?
हलः दिया है: : r = 21/2 सेमी0
(i) अर्द्ध -गोले का आयतन = 2/3 𝝅r² = ( 2/3 x 22/7 x 21/2 x 21/2 x 21/2) घन सेमी0 = 4851/2 घन सेमी0 = 2425.5 घन सेमी0
(ii) अर्द्ध -गोले का वक्र-पृष्ठ = 2 𝝅r² = ( 2 x 22/7 x 21/2 x 21/2) वर्ग सेमी0 = 693 वर्ग सेमी0
(iii) अर्द्ध-गोले का सम्पूर्ण पृष्ठ = 3𝝅r²= ( 3 x 22/7 x 21/7 x 21/2) वर्ग सेमी0 = 1039.5 वर्ग सेमी0
Measuring Volume of Solids
प्र020- एक शंकु, एक अर्द्ध -गोला तथा एक बेलन के बराबर आधार तथा बराबर ऊँचाई है। इनके आयतनों का अनुपात ज्ञात कीजिए?
हल- माना प्रत्येक की त्रिज्या = R = अर्द्ध गोले की ऊँचाई = बेलन की ऊँचाई
शंकु का आयतन : अर्द्ध गोले का आयतन : बेलन का आयतन
= ( 1/3 𝝅R² x R) : ( 2/3 𝝅R²) : ( 𝝅R² x R) = 1/3 : 2/3 : 1 = 1 : 2: 3
अतः अभीष्ट अनुपात = 1 : 2 : 3
GK Question in Hindi for SSC क्षेत्रफल (AREA) महाजनी बट्टा (BANKER’S DISCOUNT) स्टाॅक तथा शेयर (STOCK AND SHARES) मिती काटा (TRUE DISCOUNT)
चक्रवृद्धि ब्याज ( COMPOUND INTEREST ) साधारण ब्याज (SIMPLE INTEREST) साधारण ब्याज (SIMPLE INTEREST) धारा तथा नाव सम्बन्धी प्रश्न ( BOATS AND STREAMS )
कैलेण्डर ( CALENDAR ) रेल सम्बन्धित प्रश्न (PROBLEMS ON TRAINS) पाईप तथा टंकी के प्रश्न (PIPES & CISTERNS) समय तथा दूरी ( TIME AND DISTANCE)
समय तथा कार्य (TIME & WORK) मिश्र समानुपात (COMPOUND PROPORTION) अनुपात तथा समानुपात (RATIO AND PROPORTION) PARTNERSHIP (साझा)